Rationale Zahlen vs. irrationale Zahlen: Rationale Zahlen können als Brüche ausgedrückt werden. Irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden.
In beiden Fällen handelt es sich bei Zahlen um Mengen, die durch Ziffern dargestellt werden. Dieser arithmetische Wert kann in Form eines Wortes, eines Symbols oder einer Zahl dargestellt werden. Zahlen werden u. a. zum Messen, Zählen, Rechnen und Beschriften verwendet. Beispiele für Zahlen sind ganze, komplexe, natürliche und reelle Zahlen. Ganzzahlen sind ebenfalls ein Beispiel.
Rationale Zahlen werden als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen geschrieben. Irrationale Zahlen lassen sich nicht als rationale Zahlen ausdrücken. Das bedeutet, dass irrationale Zahlen dezimale Expansionen haben, die niemals enden oder sich wiederholen. Beispiele für irrationale Zahlen sind Pi (3,14159…) und die Quadratwurzel aus 2 (1,414213…). Rationale Zahlen können leicht auf einer Zahlenreihe dargestellt werden, irrationale Zahlen hingegen nicht.
Rationale Zahlen mögen den irrationalen Zahlen ähnlich erscheinen, sind aber ganz anders. Rationale Zahlen haben einen exakten Wert, der durch Brüche dargestellt werden kann, während irrationale Zahlen dies nicht können. Irrationale Zahlen haben außerdem eine unendlich lange dezimale Ausdehnung, während rationale Zahlen dies nicht haben.
Inhaltsübersicht
Was ist eine rationale Zahl?
Definition einer rationalen Zahl: Ein Verhältnis kann als Vergleich von Mengen definiert werden und wird in Bruchform ausgedrückt. Eine rationale Zahl kann durch Brüche ausgedrückt werden. Bei dem Bruch p/q zum Beispiel ist p” der Zähler und q” der Nenner. Beide sind ganze Zahlen. Hier ist ein numerischer Nenner natürlich (ungleich Null). Alle ganzen Zahlen, Brüche (einschließlich gemischter Brüche) und Dezimalzahlen (einschließlich wiederkehrender und endlicher Zahlen) sind rationale Zahlen.
Beispiele für rationale Zahlen:
- 1/9 – Hier sind sowohl der Nenner als auch der Zähler ganze Zahlen.
- √16 – In diesem Fall ist die Quadratwurzel der Zahl 4, der Bruchquotient ist 4/1.
- 7 – Geschrieben als 7/1. In diesem Fall ist 7 zufällig der ganzzahlige Quotient von 7 und 1.
- 0.3333333333 – Die wiederkehrenden Dezimalzahlen sind hier rational.
- 0.5 – Ausgedrückt als 1/2 oder 5/10. Die abschließenden Dezimalzahlen sind hier rational.
Was ist eine irrationale Zahl?
Definition einer irrationalen Zahl: Eine irrationale Zahl kann einfach nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden. Mit anderen Worten: Sie kann nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen (x) und (y) ausgedrückt werden. Die dezimale Erweiterung einer irrationalen Zahl ist weder wiederkehrend noch endlich – sie geht einfach immer weiter. Häufige irrationale Zahlen sind π (3,14…) und e (2,718…). Quersummen sind eine weitere Art von irrationalen Zahlen – sie sind nicht perfekte Würfel oder Quadrate, die nicht weiter reduziert werden können, um eine Kubik- oder Quadratwurzel zu entfernen. Zum Beispiel ist √2 eine irrationale Zahl, weil sie nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden kann. Allerdings ist √4 eine rationale Zahl, weil sie als 2/2 (zwei über zwei) ausgedrückt werden kann.
Beispiele für irrationale Zahlen:
- √2 – Diese Zahl kann nicht vereinfacht werden. Daher ist sie irrational.
- 3/0 – Bruch mit einem Nenner von Null, also irrational.
- √7/5 – In diesem Beispiel ist die angegebene Zahl zufällig ein Bruch. Das ist jedoch nicht das einzige Kriterium, um sie als rationale Zahl zu klassifizieren. Vielmehr müssen sowohl Nenner als auch Zähler ganze Zahlen sein. √7 ist keine ganze Zahl. Daher ist die angegebene Zahl irrational.
- 0.3131131113 – Diese Dezimalzahlen sind weder wiederkehrend noch endend. Daher kann sie nicht als Bruchquotient geschrieben werden.
- π – Der Dezimalwert von 3,14 endet nie, wiederholt sich nicht und weist keinerlei Muster auf. Daher entspricht der Wert von Pi nicht genau einem Bruch. 22/7 ist zufällig eine numerische Annäherung.
4 Hauptunterschiede zwischen rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen
Basis | Rationale Zahl | Irrationale Zahl |
---|---|---|
Bedeutung | Eine rationale Zahl kann als Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen geschrieben werden. | Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrücken. |
Brüche | Rationale Zahlen können als Bruch ausgedrückt werden. Der Nenner eines Bruchs kann nicht gleich Null sein. | Irrationale Zahlen können nicht als Bruch ausgedrückt werden und haben immer einen Nenner, der gleich Null ist |
Enthält | Eine rationale Zahl enthält perfekte Quadrate | Surden sind in irrationalen Zahlen enthalten. |
Dezimale Erweiterung | Rationale Zahlen können eine abschließende oder sich wiederholende Dezimalstelle haben, irrationale Zahlen dagegen nicht.Rationale Zahlen basieren auf Brüchen, die immer eine endliche Darstellung haben.Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen. Allerdings sind nicht alle reellen Zahlen rational. | Irrationale Zahlen haben nicht wiederkehrende oder nicht endliche Dezimalzahlen.irrationale Zahlen basieren nicht auf Brüchen und haben eine unbegrenzte Dezimalerweiterung.es gibt unendlich mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen. |
Hauptunterscheidungsmerkmale zwischen irrationalen und rationalen Zahlen
Rationale Zahlen werden als ein Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen beschrieben. Irrationale Zahlen hingegen können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Sie enthalten Quersummen (z. B. 2, 5, usw.). Eine rationale Zahl enthält nur die Dezimalzahlen, die sich wiederholen und endlich sind. Irrationale Zahlen hingegen haben Dezimal-Erweiterungen, die sich nicht wiederholen, unendlich sind und keine Muster aufweisen.
Rationale Zahlen und irrationale Zahlen unterscheiden sich in Bezug auf ganze Zahlen, Brüche und perfekte Quadrate. Eine rationale Zahl kann ein Bruch sein, wobei sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen sind. Irrationale Zahlen können weder als Bruch noch als zwei ganze Zahlen geschrieben werden.
Bei den rationalen Zahlen sind sowohl Nenner als auch Zähler ganze Zahlen. Der Nenner ist nicht gleich Null. Zu den rationalen Zahlen gehören perfekte Quadrate, wie 9 und 25.
Vergleichstabelle
Video zum Vergleich
Schlussfolgerung
Irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden, sondern nur als Dezimalzahlen, im Gegensatz zu rationalen Zahlen. Außerdem ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl, aber nicht jede nicht-ganzzahlige Zahl ist irrational. Das Verständnis des Unterschieds zwischen rationalen und irrationalen Zahlen ist für jeden wichtig, der mit Brüchen und Dezimalzahlen arbeitet.