Rationale vs irrationale Zahlen: Was ist der Unterschied?

Rationale vs. irrationale Zahlen - welche ist welche? In diesem Artikel erfahren Sie alles, was Sie über diese beiden Arten von Zahlen wissen müssen, wie sie sich unterscheiden und wie man mit ihnen arbeitet. Lesen Sie hier mehr.
Rational vs. Irrational Numbers: 4 Key Differences, Definition, Examples

Rationale Zahlen vs. irrationale Zahlen: Rationale Zahlen können als Brüche ausgedrückt werden. Irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden.

In beiden Fällen handelt es sich bei Zahlen um Mengen, die durch Ziffern dargestellt werden. Dieser arithmetische Wert kann in Form eines Wortes, eines Symbols oder einer Zahl dargestellt werden. Zahlen werden u. a. zum Messen, Zählen, Rechnen und Beschriften verwendet. Beispiele für Zahlen sind ganze, komplexe, natürliche und reelle Zahlen. Ganzzahlen sind ebenfalls ein Beispiel.

Rationale Zahlen werden als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen geschrieben. Irrationale Zahlen lassen sich nicht als rationale Zahlen ausdrücken. Das bedeutet, dass irrationale Zahlen dezimale Expansionen haben, die niemals enden oder sich wiederholen. Beispiele für irrationale Zahlen sind Pi (3,14159…) und die Quadratwurzel aus 2 (1,414213…). Rationale Zahlen können leicht auf einer Zahlenreihe dargestellt werden, irrationale Zahlen hingegen nicht.

Rationale Zahlen mögen den irrationalen Zahlen ähnlich erscheinen, sind aber ganz anders. Rationale Zahlen haben einen exakten Wert, der durch Brüche dargestellt werden kann, während irrationale Zahlen dies nicht können. Irrationale Zahlen haben außerdem eine unendlich lange dezimale Ausdehnung, während rationale Zahlen dies nicht haben.

Was ist eine rationale Zahl?

What Is A Rational Number? Rational number definition: a ratio can be defined as a comparison of quantities and is expressed in fraction form. A rational number can be expressed through fractions. For instance, in the fraction p/q, “p” is a numerator while “q” is a denominator. Both are integers. Here, a numerical denominator is natural (non-zero). All integers, fractions (which includes mixed ones), and decimals (including recurring and finite) are rational numbers.

Definition einer rationalen Zahl: Ein Verhältnis kann als Vergleich von Mengen definiert werden und wird in Bruchform ausgedrückt. Eine rationale Zahl kann durch Brüche ausgedrückt werden. Bei dem Bruch p/q zum Beispiel ist p” der Zähler und q” der Nenner. Beide sind ganze Zahlen. Hier ist ein numerischer Nenner natürlich (ungleich Null). Alle ganzen Zahlen, Brüche (einschließlich gemischter Brüche) und Dezimalzahlen (einschließlich wiederkehrender und endlicher Zahlen) sind rationale Zahlen.

👉  Android vs. Cyborg: Alles, was Sie über den Unterschied zwischen Android und Cyborg wissen müssen

Beispiele für rationale Zahlen:

  • 1/9 – Hier sind sowohl der Nenner als auch der Zähler ganze Zahlen.
  • √16 – In diesem Fall ist die Quadratwurzel der Zahl 4, der Bruchquotient ist 4/1.
  • 7 – Geschrieben als 7/1. In diesem Fall ist 7 zufällig der ganzzahlige Quotient von 7 und 1.
  • 0.3333333333 – Die wiederkehrenden Dezimalzahlen sind hier rational.
  • 0.5 – Ausgedrückt als 1/2 oder 5/10. Die abschließenden Dezimalzahlen sind hier rational.

Was ist eine irrationale Zahl?

What Is An Irrational Number? Irrational number definition: an irrational number simply can’t be expressed as a rational number. In other words, it can’t be expressed as a fraction of two integers (x) and (y). An irrational number’s decimal expansion is neither recurring nor finite - it just goes on forever. Common irrational numbers are π (3.14...) and e (2.718...). Surds are another type of irrational number - they are non-perfect cubes or squares that can’t be reduced further to remove a cube root or square root. For example, √2 is an irrational number because it cannot be expressed as a rational number. However, √4 is a rational number because it can be expressed as 2/2 (two over two).

Definition einer irrationalen Zahl: Eine irrationale Zahl kann einfach nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden. Mit anderen Worten: Sie kann nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen (x) und (y) ausgedrückt werden. Die dezimale Erweiterung einer irrationalen Zahl ist weder wiederkehrend noch endlich – sie geht einfach immer weiter. Häufige irrationale Zahlen sind π (3,14…) und e (2,718…). Quersummen sind eine weitere Art von irrationalen Zahlen – sie sind nicht perfekte Würfel oder Quadrate, die nicht weiter reduziert werden können, um eine Kubik- oder Quadratwurzel zu entfernen. Zum Beispiel ist √2 eine irrationale Zahl, weil sie nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden kann. Allerdings ist √4 eine rationale Zahl, weil sie als 2/2 (zwei über zwei) ausgedrückt werden kann.

👉  Micro USB vs Mini USB: Was ist der Unterschied zwischen Micro- und Mini-USB?

Beispiele für irrationale Zahlen:

  • √2 – Diese Zahl kann nicht vereinfacht werden. Daher ist sie irrational.
  • 3/0 – Bruch mit einem Nenner von Null, also irrational.
  • √7/5 – In diesem Beispiel ist die angegebene Zahl zufällig ein Bruch. Das ist jedoch nicht das einzige Kriterium, um sie als rationale Zahl zu klassifizieren. Vielmehr müssen sowohl Nenner als auch Zähler ganze Zahlen sein. √7 ist keine ganze Zahl. Daher ist die angegebene Zahl irrational.
  • 0.3131131113 – Diese Dezimalzahlen sind weder wiederkehrend noch endend. Daher kann sie nicht als Bruchquotient geschrieben werden.
  • π – Der Dezimalwert von 3,14 endet nie, wiederholt sich nicht und weist keinerlei Muster auf. Daher entspricht der Wert von Pi nicht genau einem Bruch. 22/7 ist zufällig eine numerische Annäherung.
👉  XLS vs. XLSX: Was ist der Unterschied zwischen XLS und XLSX?

4 Hauptunterschiede zwischen rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen

BasisRationale ZahlIrrationale Zahl
BedeutungEine rationale Zahl kann als Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen geschrieben werden.Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrücken.
BrücheRationale Zahlen können als Bruch ausgedrückt werden. Der Nenner eines Bruchs kann nicht gleich Null sein.Irrationale Zahlen können nicht als Bruch ausgedrückt werden und haben immer einen Nenner, der gleich Null ist
EnthältEine rationale Zahl enthält perfekte QuadrateSurden sind in irrationalen Zahlen enthalten.
Dezimale ErweiterungRationale Zahlen können eine abschließende oder sich wiederholende Dezimalstelle haben, irrationale Zahlen dagegen nicht.Rationale Zahlen basieren auf Brüchen, die immer eine endliche Darstellung haben.Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen. Allerdings sind nicht alle reellen Zahlen rational.Irrationale Zahlen haben nicht wiederkehrende oder nicht endliche Dezimalzahlen.irrationale Zahlen basieren nicht auf Brüchen und haben eine unbegrenzte Dezimalerweiterung.es gibt unendlich mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen.

Hauptunterscheidungsmerkmale zwischen irrationalen und rationalen Zahlen

Rationale Zahlen werden als ein Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen beschrieben. Irrationale Zahlen hingegen können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Sie enthalten Quersummen (z. B. 2, 5, usw.). Eine rationale Zahl enthält nur die Dezimalzahlen, die sich wiederholen und endlich sind. Irrationale Zahlen hingegen haben Dezimal-Erweiterungen, die sich nicht wiederholen, unendlich sind und keine Muster aufweisen.

Rationale Zahlen und irrationale Zahlen unterscheiden sich in Bezug auf ganze Zahlen, Brüche und perfekte Quadrate. Eine rationale Zahl kann ein Bruch sein, wobei sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen sind. Irrationale Zahlen können weder als Bruch noch als zwei ganze Zahlen geschrieben werden.

Bei den rationalen Zahlen sind sowohl Nenner als auch Zähler ganze Zahlen. Der Nenner ist nicht gleich Null. Zu den rationalen Zahlen gehören perfekte Quadrate, wie 9 und 25.

Vergleichstabelle

Rational vs. irrational numbers - which one is which? This article will tell you everything you need to know about these two types of numbers, how they differ and how to work with them. Read more here.

Video zum Vergleich

Was ist der Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen, Algebra für Fortgeschrittene, Lektion 12

Schlussfolgerung

Irrationale Zahlen können nicht als Brüche ausgedrückt werden, sondern nur als Dezimalzahlen, im Gegensatz zu rationalen Zahlen. Außerdem ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl, aber nicht jede nicht-ganzzahlige Zahl ist irrational. Das Verständnis des Unterschieds zwischen rationalen und irrationalen Zahlen ist für jeden wichtig, der mit Brüchen und Dezimalzahlen arbeitet.

Alex Stantor
We will be happy to hear your thoughts

      Hinterlasse einen Kommentar

      Difference 101
      Logo